5-g’oya. Ikki xil sanash.

Tenglamalar tuzishda biror kattalikni ikki xil usulda ifodalashadi(masalan, yo’l yoki vaqtni). Ba’zida biror kattalikni ikki xil usulda baholanadi, shunda  yoki tengsizlik hosil bo’ladi yoki juft toqligi har xil bo’lgan kattaliklar hosil bo’ladi. Bu g’oya invariantlar g’oyasi bilan uzviy bo’g’langan. Shuningdek bu g’oya ziddiyat manbai ham bo’ladi.

1-misol. 5×5 katakli jadvalga sonlarni har bir satrdgai sonlar yig’indisi musbat bo’ladigan, har bir ustundagi sonlar yig’indisi esa manfiy bo’ladigan qilib joylashtirish mumkinmi?

Yechish: Faraz qilaylik bu mumkin bo’lsin. Barcha sonlar yig’indisini topamiz. Agar satrlar bo’yicha hisoblasak bu yig’indi musbat; agar ustunlar bo’yicha hisoblasak bu yig’indi manfiy bo’ladi.  Ziddiyat. Demak sonlarni bunday joylashtirish mumkin emas.

2-misol. Sinfda 27 nafar o’quvchi bor. Har bir o’g’il bola to’rtta qiz bilan do’stlashgan, har bir qiz bola esa beshta o’g’il bola bilan do’stlashgan. Shu sinfda nechta o’g’il bola va nechta qiz bola bor?

Yechish:  Faqaz qilaylik m ta o’g’il bola va d ta qiz bola bo’lsin. Barcha  “do’stliklar” sonini ikki xil usulda hisoblaymiz. Har bir o’g’il bola to’rtta qiz bilan do’stlashgani uchun barcha do’stliklar soni 4m bo’ladi; ikkinchi tomondan har bir qiz bola 5 tadan o’g’il bola bilan do’stlashgani uchun barcha do’stliklar soni 5d ga teng. 4m=5d tenglama hosil bo’ladi. m+d=27 bo’lgani uchun, m=15  , d=12 ekanini topamiz.

Javob: 15 ta o’g’il bola va 12 ta qiz bolalar.

3-misol. S=1+3+9+ … +3ⁿ  geometrik progrressiyaning yig’indisini toping.

Yechish: Bu yig’indini ikki xil usulda hisoblash mumkin: yo tenglikning ikkala tomoniga 3ⁿ  bu qo’shish kerak, yoki  har bir qo’shiluvchini  avval 3 ga ko’paytirib keyin 1 ni qo’shamiz.

Ushbu tenglamani hosil qilamiz. S=1+3+9+…+3ⁿ. Bu tengalmadan     ekani kelib chiqadi.

 

Mustaqil yechish uchun masalalar

1. Beshta shaharlar orasida yo’llarni har bir shahar boshqa uchta shahar bilan bog’lanadigan qilib qurish mumkinmi?
2. Har bir burchagi butun sonlarda gradusda ifodalanadigan qavariq 1978 burchak mavjudmi?
3. Uchburchakni qavariq to’rtburchaklar hosil b o’ladigan qilib qirqishdi. To’rtburchaklardan hech bo’lmasa bittasida 120⁰ dan kichik bo’lmagan burchak mavjud ekanini isbotlang.

4. mxk o’lchamli to’g’ri burchakli jadvalning har bir katagiga son yozilgan. Har bir satrdagi va har bir ustundagi sonlar   yig’indisi 1 ga teng. m=k ekanini isbotlang.