1-bo’lim. Arifmetika

 1. Arifmetika fani haqida tushuncha 

Arifmetika – matematikaning bo’limlaridan biridir. Arifmetika so’zi grekcha “arifmos” so’zidan kelib  chiqqan bo’lib “son” degan ma’noni bildiradi. Arifmetikada sonlar, sonlar ustida bajariladigan amallar va ularning xossalari o’rganiladi. Sonlar raqamlar bilan yoziladi. Raqamlar belgi degani. Biz ishlatadigan raqamlar 10 ta : bular 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Shu raqamlar yordamida ixtiyoriy sonni yozamiz. Agar son bitta raqam bilan yozilgan bo’lsa bir xonali son, ikkita va undan ko’p raqam bilan yozilgan bo’lsa ko’p xonali son deyiladi.  Bu 10 ta raqamni fanga birinchi bo’lib arablar kiritgan. Shuning uchun bu raqamlarni arab raqamlari deyiladi. Sonlarni o’nta raqamdan foydalanib yozish usuliga o’nli sanoq sistemasi deyiladi.

Sonni yozishda har bir raqam o’zining egallagan o’rniga qarab, o’z martabasiga ega bo’ladi. Martabaga o’ngdan chapga qarab ajratiladi. O’ngdagi birinchi raqam birlar xonasi, ikkinchi raqam o’nlar xonasi, uchinchi raqam yuzlar xonasi…minglar, o’n minglar, yuz minglar, millionlar, o’n millionlar, yuz millionlar, milliardlar xonasi …. kabi nomlanadi.  Har bir xona  martabasi o’zidan oldinggi xona martabasidan o’n marta katta, o’zidan keyingi xona martabasidan o’n marta kichik bo’ladi.

1,10,100,… sonlar xona birliklari deyiladi. Har qanday sonni xona birliklarini ko’rsatib yig’indi shaklida yozish mumkin.

Masalan : 1) 6354=6∙1000+3∙100+5∙10+4,  2) 480678=4∙100000+8∙10000+6∙100+7∙10+8

O’nta raqamdan beshtasi toq, qolgan beshtasi esa juft raqamlardir.

Toq raqamlar: 1,3,5,7,9;       Juft raqamlar: 0,2,4,6,8.

Sonlar ham juft va toq sonlarga bo’linadi. Sonning oxirgi raqami juft bo’lsa, bu son juft son deyiladi. Sonning oxirgi raqami toq bo’lsa bu son  toq son deyiladi. O’nli sanoq sistemasida yozilgan sonning yozuvidagi har bir raqam o’z martabasiga ega bo’lgani uchun o’nli sanoq sistemasi pozitsion sanoq sistemasi deyiladi. Taqqoslash uchun Rim raqamlar sistemasi pozitsion sanoq sistemasi emas.  Rim sanoq sistemasida quyidagi   7   ta raqam bor:  I – 1,  V-5, X-10, L- 50, C-100, D-500, M- 1000. Bir xil raqamlar ketma-ket yozilsa ular qo’shiladi. Masalan: XXX yozuv  30  ni  bildiradi.  Qiymati kichik raqam qiymati katta raqamdan keyin yozilsa qo’shiladi, qiymati kichik raqam qiymati katta raqamdan oldin yozilsa ayirish kerak bo’ladi.  Masalan: XI-11 ni, IX – esa 9 ni bildiradi.

  1. Natural sonlar va nol.

Ta’rif: Narsalarni sanashda ishlatiladigan sonlar natural sonlar deyiladi.

Har qanday natural sonni  o’nta  1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 raqamlari bilan ifodalaymiz. 1 dan boshlab barcha natural sonlarni ketma-ket yozib chiqsak , 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,….natural sonlar qatori hosil bo’ladi.

Eng kichik natural son 1.   Har qanday natural songa 1 ni qo’shilsa undan katta natural son hosil bo’ladi. Shuning uchun natural sonlarning eng kattasi mavjud emas.  Natural sonlar cheksiz ko’pdir.

Barcha natural sonlar birgalikda natural sonlar to’plamini tashkil qiladi va bu to’plam N harfi bilan belgilanadi. N=   ko’rinishda yoziladi. Nol soni natural son emas.

Natural sonlarni yozish va o’qish qulay bo’lishi uchun, uning yozuvdagi raqamlarini sinflarga ajratiladi buning uchun raqamlar o’ngdan chapga qarab guruhlarga ajratiladi. Har bir guruhda uchtadan raqam olinadi, eng oxirgi guruhga ikkita yoki bitta raqam bo’lishi ham mumkin. O’ngdan birinchi guruh birlar sinfi, ikkinchi guruh minglar sinfi, uchunchi guruh millionlar sinfi va hakozo. Har bir sinf o’zidan oldingi sinfdan 1000 marta katta, o’zidan keyingi sinfdan 1000 marta kichik bo’ladi. Ko’p xonali sonlarni o’qish: qoida: chapdan o’ngga qarab sinfga turgan songa sinf nomi qo’shib o’qiladi, birlar sinfining nomi aytilmaydi. Agar biror sinfdagi barcha raqamlar nollardan iborat bo’lsa, o’qishda shu sinf tashlab ketiladi.

III. Natural sonlarni qo’shish , ayirish, ko’paytirish va bo’lishda qatnashadigan sonlarning nomlanishi.

Arifmetik amallar deganda qo’shish, ayirish, ko’paytirish va bo’lish amallari tushiniladi.

  • Natural sonlar yig’indisi yana natural son bo’ladi.
  • Natural sonlar ayirmasi, natural son bo’lishi ham, bo’lmasligi ham mumkin.
  • Natural sonlar ko’paytmasi yana natural son bo’ladi.
  • Natural sonlar bo’linmasi natural son bo’lishi ham, bo’lmasligi ham mumkin.

a + b = c  yozuvda, a va b – qo’shiluvchilar, c – yig’indi deyiladi.

a – b = c  yozuvda, a – kamayuvchi, b – ayriluvchi, c – ayirma d-di

a ∙ b = c  yozuvda, a va b – kopaytuvchilar, c — ko’paytma deyiladi.

a : b = c  yozuvda, a – bo’linuvchi, b – bo’luvchi, c – bo’linma deyiladi.

  1. Natural sonlarni qo’shish va ko’paytirish qonunlari

1) Qo’shishning o’rin almashtirish qonuni: qo’shiluvchilarning o’rinlari almashgani bilan yig’indi o’zgarmaydi

a+b=b+a

2) Qo’shishning guruhlash qonuni: birinchi  va ikkinchi sonlar yig’indisi bilan uchinchi sonning yig’indisi, birinchi son bilan ikkinchi va uchinchi sonlar yig’indisining qo’shilganiga teng.

     a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c

3) Ko’paytirishni o’rin almashtirish qonuni: ko’paytuvchilarni o’rinlari almashgani bilan ko’paytma o’zgarmaydi.

    a∙b=b∙a

4) Ko’paytirishni guruhlash qonuni: birinchi  va ikkinchi sonlar ko’paytmasi bilan uchinchi sonning ko’paytmasi, birinchi son bilan ikkinchi va uchinchi sonlar ko’paytmasining  ko’paytirilganiga teng.

a∙(b∙c)= (a∙b) ∙c=a∙b∙c

Guruhlash xossalari hisoblashni qulay bajarish imkonini beradi.

1-mashq. Hisoblang:

  1. a) (78+93)+22=(78+22)+93=100+93=193 b) (125·39)·8=(125·8)·39 =1000·39=39000

5) Ko’paytirishni taqsimot qonuni: son bilan yig’indining ko’paytmasi  son bilan qo’shiluvchilar ko’paytmalarining  yig’indisiga teng. (yig’indi o’rniga ayirma bo’lishi ham mumkin)

Qavsni ochish:                                   a∙(b+c)= a∙b+a∙c;  a∙(b-c)=a∙b-a∙c

Umumiy ko’paytuvchini qavsdan tashqarga chiqarish:    a∙b+a∙c= a∙(b+c);    a∙b-a∙c= a∙(b-c)

2-mashq. Qulay usulda hisoblang.

  1. a) 247·61+247·39=247·(61+39)=247·100=24700 b) 386·92-286·92=92·(386-286)=92·100=9200

Xossalar  hisoblashni qulay bajarishga yordam beradi. Masalan 3-misolda hisoblash qulay bo’lishi uchun ko’paytuvchilardan birini yig’indi yoki ayirma  shaklida yozib olish mumkin.

3-mashq. Hisoblang: 27048·27044-27047·27043

1-usul. 27048·27044-27047·27043=(27047+1)·27044-27047·(27044-1)=

=27047·27044+27044-27047·27044+27044=27047+27044=54091

2-usul. 27043=a deb belgilash kritsak, 27048=a+5, 27044=a+1, 27047=a+4  bo’ladi hamda,

27048·27044-27047·27043=(a+5)(a+1)-(a+4)a=a2+a+5a+5-a2-4a=2a+5=2·27043+5=54091

  1. Natural sonlar to’plamiga tegishli ba’zi muhim ma’lumotlar:

Barcha raqamlar  yig’indisi 45 ga teng: 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

Bir xonali natural sonlar 9 ta va bir xonali natural sonlar yig’indisi 45 ga teng; Ikki xonali natural sonlar 90 ta; Uch xonali natural sonlar 900 ta; . . .

Natural sonlar qatorida juft va toq sonlar almashinib keladi. Juft va toq sonlarni formula orqali ham ifodalash mumkin.

Juft sonlar formulasi: 2n, bunda n –natural son;

Toq sonlar formulasi:  1-usul 2n – 1, bunda n-natural son; 2-usul. 2n+1 bunda n=0 va n –natural son;

1-mashq.  1 dan boshlab 75 gacha ( 75 ham kiradi) barcha sonlar ketma-ket yozildi. Hosil bo’lgan son necha xonali.

Yechish: 9 ta bir xonali va 66 ta ikki xonali son yozilgan. Demak , 9·1+66·2=141   Javob : 141 xonali

2-mashq. 1 dan boshlab 75 gacha ( 75 ham kiradi) barcha sonlar ketma-ket yozildi. Hosil bo’lgan sonning raqamlari yig’indisini toping.

Yechish: 1 dan 9 gacha raqamlar yig’indisi 45

10 dan 19 gacha sonlardagi raqamlar yig’indisi 10+45=55

20 dan 29 gacha sonlardagi raqamlar yig’indis 20+45=65……..davom etamiz: 60dan 69 gacha raqamlar yig’indisi 60+45=105. 70 dan 75 gacha raqamlar yig’indisi esa  57.

Shunday qilib, 45+55+65+75+85+95+105+57=582   Javob: 582

2 Комментариев для “1-bo’lim. Arifmetika”

    1. Saytimizning Abituriyentlar ruknidagi Oliy o’quv yurtlariga kiruvchilar bo’limidan testni yuklab oling . Natija qanday bo’lganini bildiring. Sizga Omad! B.Abdiyev

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *