18-may kuni uchun berilgan geometrik tengsizlikning isboti

Masala: Uchburchakning tomonlari a,  b   va  c   bo’lsin.

Ushbu tengsizlikni isbotlang: \frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\geq3

Yechish: Belgilash kiritamiz:

b+c-a=x,    a+c-b=y, a+b-c=z bo’lsin.

Bulardan    a,   b   va c ni  x , y va z orqali ifodalasak:  a=\frac{y+z}{2}, b=\frac{x+z}{2}, c=\frac{x+y}{2}   bo’ladi.

\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}=\frac{y+z}{2x}+\frac{x+z}{2y}+\frac{x+y}{2z}=\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\right)=\frac{1}{2}\left(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)\right)\geq\frac{1}{2}(2+2+2)=3

Tengsizlikni isbotlashda ushbu lemmadan foydalandik: Lemma.  xy>0 bo’lganda, \frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq2

P.S.   Albatta  avval lemmani isbotlanadi

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *