Ajoyib masalaning ikki xil yechimi haqida

Masala. Uchburchakning burchaklaridan biri 60º ga teng  bo’lib, shu burchak  qarshisidagi tomon uzunligi uchburchak perimetrining uchdan bir qismiga teng. Shu uchburchak teng tomonli ekanini isbotlang.

Yechish:

1-usul. (Avtor yechimi)  Teskarisini faraz qilamiz. Uchburchak muntazam bo’masin.  ABC uchburchakning A burchagi 60º , BC=a bo’lsin. AB=a-x deylik , u holda   AC= p-BC-AB =3a-a-(a-x)=a+x    bo’ladi. AB nurda B′ nuqtani, AC nurda C′ nuqtani shunday tanlaymizki, AB′=AC′=a bo’lsin.

ikki xil yechim

AB′C′ uchburchak teng yonli va bitta burchagi 60º , demak u teng tomonli, ya’ni B′C′= a.

BC′B′ va BC′C uchburchaklar uchta tomoniga ko’ra teng. Shuning uchun \angle BCC'=\angle BB'C'=60^{0}. Shunday qilib, ABC uchburchakning faqat A burchagi emas, C burchagi ham 60º ekan. Bu esa ABC teng tomonli uchburchak ekanini bildiradi.  Isbotlandi

2-usul. Abdishukurov Akobir (8-sinf o’quvchisi) taklif etgan yechim.

ABC uchuburchakning A burchagi 60º,   BC tomoni a bo’lsin. AB=c, AC=b deylik. Masala shartiga ko’ra, b+c=2a bo’ladi. Bundan, a=\frac{b+c}{2}   bo’ladi.

Kosinuslar teoremasiga ko’ra, a2 = b2+c2-2bccos60º  , bundan a2 = b2+c2-bc

Endi , a=\frac{b+c}{2}   bo’lgani uchun  \frac{b^{2}+2bc+c^{2}}{4}=b^{2}+c^{2}-bc

bundan esa b2-2bc+c2=0  . Demak,  . Bundan b=c ekani kelib chiqadi.

Bu esa ABC uchburchak teng yonli ekanini va bitta burchagi 60º bo’lganidan teng tomonli ekani kelib chiqishini bildiradi.  Isbotlandi.

 

 

2 Комментариев для “Ajoyib masalaning ikki xil yechimi haqida”

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *