Nima izlayapsiz?

Bo’linish alomatlari

Mavzu:  Sonlarning bo’linish alomatlari   

    Neymatova Yulduz

Kitob tumanidagi 1-DIMI  matematika to’garagi    

Mundarija

Kirish qismi. Bo’linuvchanlik-sonlar nazariyasining asosiy xossasi

Bo’linish alomatlarining turlari ( klassifikasiyasi)

Sonlarning bo’linish alomatlarini qurish usullari

1) Biror songa bo’linish alomatini 10k  ko’rinishdagi sonlarni shu songa bo’linishidan foydalanib aniqlash.

2) Taqqoslashlar usuli

3) Paskal usuli

4) Bo’linish alomatlarini Fermaning kichik teoremasiga ko’ra qurish.

5) Murakkab sonlarning bo’linish alomatlari.

Bo’linish alomatlarining sonli fokuslarda qo’llanilishi.

Xulosalar

Sonlar nazariyasi-matematikaning sonlarning xossalari o’rganiladigan bo’limidir.

Sonlar nazariyasining asosiy ob’ekti-natural sonlardir.  Sonlarning sonlar  nazariyasida  o’rganiladigan asosiy xossalaridan biri bo’linuvchanlik.

Sonlarning bo’linish alomatlarini sinflarga quyidagicha ajratish mumkin:

  1. Oxirgi raqam bo’yicha bo’linishj alomatlari.

Natural sonlarning oxirgi raqami bo’yicha bo’linish alomatlarini qurish:

Agar 10k  soni qandaydir natural songa bo’linsa, u holda 10n ko’rinishdagi son ham o’sha songa bo’linadi, bunda n>k.

2 ga bo’linish alomati. Agar sonning oxirgi raqami 2 ga bo’linsa yoki nol bo’lsa, bunday son 2 ga bo’linadi.

10 soni 2 ga bo’linadi, demak 100, 1000, … sonlar ham 2 ga bo’linadi. U holda sonning oxirgi raqami nol bo’lsa yoki 2 ga bo’linsa bunday son 2 ga bo’linadi.

10 ga bo’linish alomati. Agar sonning oxirgi raqami nol bo’lsa bunday son 10 ga bo’linadi.

10 soni 10 ga bo’linadi, demak 100, 1000, .. sonlar ham 10 ga bo’linadi. Demak, sonning oxirgi raqami nol bo’lsa bunday son 10 ga bo’linadi.

5 ga bo’linish alomati. Agar sonning oxirgi raqami nol yoki 5 bo’lsa bunday son 5 ga bo’linadi.

100 ga bo’linish alomati.  Agar sonning oxirgi ikkita raqami nol bo’lsa, bunday son 100 ga bo’linadi.

1000 ga bo’linish alomati.  Agar sonning oxirgi uchta raqami nol bo’lsa, bunday son 1000 ga bo’linadi.

4 ga bo’linish alomati. Agar sonning oxirgi ikkita raqami nol bo’lsa yoki 4 ga bo’linadigan son hosil qilsa bunday son 4 ga bo’linadi.

Isbot. 100, 1000, 10000, … sonlar 4 ga  qoldiqsiz bo’linadi.  Demak sonning oxirgi ikkita raqami nollar  bo’lsa yoki 4 ga bo’linadigan son  hosil qilsa bunday son 4 ga bo’linadi.

8 ga bo’linish alomati. Agar sonning oxirgi uchta raqami nollar bo’lsa yoki ular 8 ga bo’linadigan son hosil qilsa, bunday son 8 ga bo’linadi.

Isbot: 1000, 10000, … sonlar 8 ga qoldiqsiz bo’linadi.  Demak, sonning oxirgi uchta raqami nollar bo’lsa yoki ular 8 ga bo’linadigan son hosil qilsa, bunday son 8 ga bo’linadi

25 ga bo’linish alomati. Agar sonning oxirgi ikkita raqami nollar bo’lsa yoki 25 bo’linadigan son bo’lsa bunday sonlar 25 ga bo’linadi.

Isbot: 100, 1000, 10000, … sonlar 25 ga qoldiqsiz bo’linadi.  Demak, sonning oxirgi ikkita raqami nollar bo’lsa yoki 25 bo’linadigan son bo’lsa bunday sonlar 25 ga bo’linadi.

125 ga bo’linish alomati. Agar sonning oxirgi uchta raqami nollar bo’lsa yoki 125 ga bo’linadigan son hosil qilsa bunday son 125 ga bo’linadi.

Isbot: 1000, 10000,100000, … sonlar  125 ga qoldiqsiz  bo’linadi. Demak sonning oxirgi uchta raqami nollar bo’lsa yoki 125 ga bo’linadigan son hosil qilsa bunday son 125 ga bo’linadi.

  1. Sonlarning raqamlari yig’indisiga ko’ra bo’linish alomatlari.

Bunaqa bo’linish alomatlarini qurish uchun 10k  (bunda k-natural son) ko’rinishdagi sonlarning  berilgan songa bo’lgandagi qoldiqlarni bilishimiz kerak bo’ladi.

Paskal usuli.  Bu usul Paskal alomatiga asoslangan.

Blez Paskal ( 1623 yilda tug’ilgan) –insoniyat tarixidagi eng taniqli insonlardan biridir. Paskal 39 yoshida vafot etgan. Qisqa umr ko’rgan bo’lsada u buyuk matematik, fizik, filosof va yozuvchi sifatida tarixda qolgan.  Uning xizmatlari evaziga bosim birligi (paskal) va bugungu kunda mashhur programmalash tillaridan biri uning nomi bilan ataladi.

Blez Paskal  birinchi kalkulyatorning yaratuvchisi. Uning ilmiy qiziqishlari faqat bu bilan cheklanmagan: u ixtiyoriy butun sonning boshqa butun songa bo’linish alomatini qurishning umumiy algoritmini topdi.  Bundan tashqari binomial koeffitsiyentlarni hisoblash usulini hamda ehtimolliklar nazariyasining bir qator asosiy holatlarini tuzdi.

Paskal alomati quyidagicha bayon qilinadi.

Paskal alomati:

Agar a sonni xona martabalari  bo’yicha b songa bo’lgandagi qoldiqlar yig’indisi  b ga bo’linsa, u holda  a sonning o’zi ham b ga bo’linadi.

3 ga va 9 ga bo’linish alomatlari.

Agar  sonning raqamlari yig’indisi 3 ga bo’linsa, shu sonning o’zi ham 3 ga bo’linadi. Agar  sonning raqamlari yig’indisi 9 ga bo’linsa, shu sonning o’zi ham 9 ga bo’linadi.

Isbot: 1, 10, 100, 1000, … sonlarni 3 ga yoki 9 ga bo’lganda qodiq 1 ga teng bo’ladi.

Demak, sonning raqamlari yig’indisi 3 ga bo’linsa, shu son ham 3 ga bo’linadi. Shuningdek raqamlari yig’indisi 9 ga bo’lingan sonning o’zi ham 9 ga bo’linadi.

11 ga bo’linish alomati. Agar sonning toq o’rinlardagi raqamlari yig’indisi bilan juft o’rinlardagi raqamlari yig’indisi teng bo’lsa, yoki ularning ayirmasi 11 ga bo’linsa shu sonning o’zi ham 11 ga bo’linadi.

Isbot:

10=11-1, bu son 11 ga bo’linishi uchun 1 yetishmaydi ;

100=11·9+1,  bu sonni 11 ga bo’lganda 1 qoldiq qoladi  ;

1000=11·91-1;

10 000=11·909+1,

100 000=11·9091-1,

1000 000= 11·90909+1.

Endi , barcha qoldiqlar yig’indisini topish kerak.

Demak, agar sonning toq o’rinlardagi raqamlari yig’indis juft o’rinlardagi raqamlar yig’indisiga teng bo’lsa yoki ularning ayirmasi 11 ga karrali bo’lsa shu sonning o’zi ham 11 ga bo’linadi.

Misol. 865948732 soni 11 ga bo’linadimi?

8+5+4+7+2=26;

6+9+8+3=26;       26-26=0 demak berilgan son 11 ga bo’linadi.

Sonning 11 ga bo’linishining yana bitta alomatini qurish mumkin.

11 ga bo’linish alomati. Sonning raqamlarini o’ngdan chapga qarab ikkitadan qilib guruhlarag ajratib hosil qilingan sonlar yig’indisi 11 ga bo’linsa, berilgan sonning yig’indisi ham 11 ga bo’linadi.

Isbot:

100=11·9+1,  11 ga bo’lganda 1 ortadi;

10 000=11·909+1,

1000 000= 11·90909+1.

Demak, bo’linishining yana bitta alomatini qurish mumkin.

11 ga bo’linish alomati. Sonning raqamlarini o’ngdan chapga qarab ikkitadan qilib guruhlarag ajratib hosil qilingan sonlar yig’indisi 11 ga bo’linsa, berilgan sonning yig’indisi ham 11 ga bo’linadi

Misol.  2 37 84 95 68.

2+37+84+95+68=286.

2+86=8811Demak, berilgan son 11 ga bo’linadi.

Ana shu g’oyaning rivojlanishi  matematikada “taqqoslamalar” tushunchasiga olib keldi.

Taqqoslamalar metodi.

Ikkita butun sonning ayirmasi biror m soniga bo’linsa, u holda bu sonlar m modul bo’yicha taqqoslanadi deyiladi.

“a coni b coni bilan m modul’ bo’yicha taqqoslanadi  “ degan tasdiq

a b (mod m)  kabi yoziladi  va taqqoslama deyiladi.

Masalan:   ya’ni   (5-1)  ayirma 2 ga karrali.

Taqqoslamalar metodi bo’yicha bo’linish alomatlarini quramiz.

Taqqoslamalar metodi bo’yicha bo’linish alomatlarining qurilishi -10k   (bunda k-natural son) ko’rinishdagi sonlarni  berilgan songa qoldiqli bo’lishga va qoldiqlar yig’indisining analiziga asoslangan.

3 ga va 9 ga bo’linish alomatlari.

Har qanday n sonini  n=a+10b+100c+… ko’rinishda yozish mumkin.

,   shuning uchun .  Demak, n sonining raqamlari yig’indis 3 ga bo’linsagina va faqat shu holda sonning o’zi ham 3 ga bo’linadi.  9 ga bp’linish alomati ham shu yo’l bilan isbotlanadi.

37 ga bo’linish alomadi. 

Agar sonni o’nli yozuvida raqamlarni o’ngdan chapga qarab uchtadan qilib guruhlarga ajratsak va hosil qilingan sonlarni qo’shsak hosil bo’lgan yig’indi 37 ga bo’linsa, u holda shu sonning o’zi ham 37 ga bo’linadi.

Isbot:

Bo’linish alomatlarini qurishning bu usuli ancha og’ir bo’lib , ko’p hisoblashlarni talab qiladi.

Bo’linish alomatlarining Fermaning kichik teoremasiga k’ora qurilishi.

Fransuz matematigi P’yer Fermani  shuhrat qozonishiga uning sonlar nazariyasiga oid qilgan ishlarining hissasi katta. Aynan Fermaning ishlari  matematika fanining yangi yo’nalishi –sonlar nazariyasining paydo bo’lishiga sabab bo’ldi. Fermaning kichik teoremasi  sonlarning bo’linishi nazariyasidagi eng muhim fundamental faktlardan biri bo’lib chiqdi.

Fermaning kichik teoremasi.

Agar p tub son, a esa p ga bo’linmaydigan natural son  bo’lsa, u holda  ni p ga bo’lgandagi qoldiq 1 ga teng bo’ladi.

17 ga bo’linish alomati. 

17-tub son, 10 esa 17 ga bo’linmaydigan natural son, u holda   sonini  17 ga bo’lganda qoldiq 1 ga teng bo’ladi. 

   sonini ham tekshiramiz. Bu sonni 17 ga bo’lganda ham kamomad 1 ga teng bo’ladi. Demak, sonni o’nli yozuvidagi raqamlarni o’ngdan chapga qarab sakkiztadan qilib guruhlarga ajratsak va juft nomerli guruhlardagi sonlar yig’indisidan toq nomerli guruhlardagi sonlar yig’indisini ayirsak ayirma 17 ga bo’linsa u holda shu sonning o’zi ham 17 ga bo’linadi.                                                                                                                               

 19 ga bo’linish alomati.  19 tub son, 10 esa 19 ga bo’linmaydigan tub son, demak   sonini 19 ga bo’lganda qoldiq 1 ga teng bo’ladi.   ni  19 ga bo’lganda esa kamomad 1 ga teng bo’ladi. Bu holda sonning raqamlarini o’ngdan chapga 9 tadan qilib guruhlarga ajratish kerak.

Ayrim holatlarda kichikroq darajalarni qarash mumkin bo’ladi. Masalan, 11-tub son. U holda  sonini 11 ga bo’lganda qoldiq 1 ga teng bo’ladi. Lekin 100 ni 11 ga bo’lganda ham qoldiq 1 ga teng bo’ladi. Shuning uchun 11 ga bo’linishni tekshirishda sonning raqamlarini ikkitadan qilib guruhlarag ajratish kerak bo’ladi.

Ko’paytuvchilarga ajratish usuli.

7 va 13 ga bo’linish alomatlari.

Agar sonning o’nli yovuvida raqamlarni o’ngdan chapga qarab uchtadan qilib guruhlarga ajratsak, juft guruhlardagi sonlar yig’indisi bilan toq o’rinlardagi sonlar yig’indisining ayirmasi 7 ga yoki 13 ga bo’linsa, u holda shu sonning o’zi ham 7 ga yoki 13 ga bo’linadi.

Isbot:

Avvalo  7·11·13=1001    tengli o’rinli ekanini ko’ramiz.

Lekin,  1000=1001-1,

1000 000= 1001·999+1,

1 000 000 000 =1001·999 001-1  va h…  Demak, agar sonning o’nli yovuvida raqamlarni o’ngdan chapga qarab uchtadan qilib guruhlarga ajratsak, juft guruhlardagi sonlar yig’indisi bilan toq o’rinlardagi sonlar yig’indisining ayirmasi 7 ga yoki 13 ga bo’linsa, u holda shu sonning o’zi ham 7 ga yoki 13 ga bo’linadi.

 73 va 137 ga bo’linish alomatlari.

Agar sonning o’nli yovuvida raqamlarni o’ngdan chapga qarab to’rttadan qilib guruhlarga ajratsak, juft guruhlardagi sonlar yig’indisi bilan toq o’rinlardagi sonlar yig’indisining ayirmasi 73 ga yoki 137 ga bo’linsa, u holda shu sonning o’zi ham

73ga yoki 137 ga bo’linadi.

Isbot: Avvalo ,  73·137=10 001  tenglikni ko’ramiz.

Lekin,  10 000=10 001-1,

100 000 000=10 001·999+1.

1000 000 000 000= 10 001·999 001-1  va h….

Demak, agar sonning o’nli yovuvida raqamlarni o’ngdan chapga qarab to’rttadan qilib guruhlarga ajratsak, juft guruhlardagi sonlar yig’indisi bilan toq o’rinlardagi sonlar yig’indisining ayirmasi 73 ga yoki 137 ga bo’linsa, u holda shu sonning o’zi ham 73ga yoki 137 ga bo’linadi.

 Murakkab sonlarning bo’linish alomatlari

Har qanday murakkab sonni tub ko’paytuvchirga yoyish mumkin. Murakkab sonlarning bo’linish alomatlari ana shu yoyilmadagi tub ko’paytuvchilarga bo’linish alomatlariga ko’ra quriladi.

6 ga bo’linish alomadi. Agar son 2 ga ham, 3 ga ham bo’linsa bu son 6 ga ham bo’linadi.

14 ga bo’linish alomati. Agar son 2 ga ham, 7 ga ham bo’linsa, u holda bu son 14 ga ham bo’linadi.

Sonlarning bo’linish alomatlari  turli sonli fokuslarda qo’llailadi.

1) Sonlarning 7, 11,13 ga bo’linish alomatlarini ushbu fokusda qo’llash mumkin. Do’stingizga biror uch xonali son o’ylashni taklif qiling va son orqasidan shu sonni yana bir marta yozishini so’rang.  Keyin hosil bo’lgan olti xonali sonni 7 ga bo’lishni ayting, son 7 ga to’liq bo’linadi, keyin bo’linmani 11 ga, keyin hosil bo’lgan bo’linmani 13 ga bo’lishni ayting  , oxirgi bo’linma do’stingiz dastlab yozgan uch xonali sonning o’zi bo’ladi.

Xulosa. Natural sonlarning bo’linish alomatlarini tekshirish metodlarini bilsak, har qanday natural songa bo’linish alomatini yozish mumkin.

 

1 ta fikr 4565 marta ko‘rilgan

Aloqador maqolalar

1 ta fikr

Fikr bildirish